本帖最后由 旭日东升 于 2012-6-18 16:34 编辑
3. NXTway-GS 建立模型 本章介绍NXTway-GS的数学模型和及其运动方程。 3.1两轮倒立摆模型 NXTway-GS可视为两个轮子的倒立摆模型，如图3-1所示。
图3-1双轮倒立摆
图3-2显示倒立单摆的侧视图和平面视图。 3.2两个轮子倒立单摆运动方程中使用的坐标系如图3-2中所述。
图3-2倒立摆轮的侧视图和平面视图
NXTway-GS的物理参数有以下这些： g=9.81 [m / sec^2] : 重力加速度 m=0.03 [kg ] : 轮子重量 R=0.04 [m] : 轮子半径 JW = mR^2/2 [kgm^2] : 轮子转动惯量 M =0.6 [kg] : 车身重量 W =0.14 [m] : 车身宽度 D=0.04 [m] : 车身深度 H =0.144 [m] : 车身高度 L=H/2 [m] : 从轮轴到重心的距离 J ψ= ML^2/3 [kgm^2 ] : 车身俯仰惯性矩 Jφ = M (W^2+D^2)/12 [kgm^2 ] : 车身偏航惯性矩 Jm = 1×10^-5 [kgm ] : 直流电动机的转动惯量 Rm = 6.69 [Ω] : 直流电动机的电阻 Kb = 0.468 [V sec rad ] : 直流电动机反电动势常数 Kt = 0.317 [Nm A] : 直流电动机的转矩常数 n=1 : 变速比 fm = 0.0022 : 车身和直流电动机之间的摩擦系数 fw =0 : 车轮和地面之间的摩擦系数
l 我们使用在参考【2】中Rm，Kb，Kt的值， l 由于Jm,n,fm, fw难以测量，故我们使用假定的值。
3.2两轮倒立摆的运动方程
平移的动能为T1,转动的动能为T2,势能为U它们的方程式为
T2中第五和第六两个数学表达式是左右两边的直流电动机的电枢的转动动能。拉格朗日L有以下的表达式。
在广义坐标系下定义这些变量。
θ : 左右轮子的平均角度 ψ : 车身的仰角 φ : 车身摆角 拉格朗日方程组如下：
我们得出下列公式评估式（3.10） - （3.12）
在考虑直流电动机转矩和粘滞摩擦，广义力给出以下
il,r是直流电动机的电流。
我们不能用直流电动机的电流直接以控制它，因为它是基于PWM（电压）控制。因此通过直流电动机方程，我们评估的电流il,r之间的关系电压Vl,r。如果电机内部的摩擦可以忽略不计，直流电动机方程是一般如下：
在这里，我们认为电机电感是微不足道的，近似为零。因此电流表达式如下：
从式（3.21），受力方程可以使用电机的电压来表示。
3.3 两轮倒立摆的状态方程 基于现代控制理论的状态方程，我们可以得出NXTway-GS线性化运动方程平衡点。这意味着，我们假定Limit ψ→0（Sin ψ→ψ，cosψ→1），同时忽略第二个数学表达式ψ2，则运动方程近视如式（3.13） - （3.15）
方程式（3.26）和（3.27）有θ和ψ式，方程式中（3.28）仅有φ 。这些方程式可以表示为以下形式
在这里我们假定以下变量X1，X2作为状态，和u 作为输入。 表示x的变换。
因此，我们可以从而推导出两轮倒立摆的状态方程式（3.29）和（3.30）。
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