附录A 虚拟NXT的NXTway-GS自行平衡两轮机器人教程

旭日东升

附录 A 现代控制原理

本附录简要介绍了现代控制理论在NXTway-GS控制器的设计中使用。更多详情，请参阅有关控制理论的教科书

A.1稳定性

如果输入u等于零, 不论状态初始的为何值，我们定义的逐步稳定的系统最终状态值将趋于0。

以下为状态方程

系统矩阵A的所有特征值的实部为负是渐近稳定充分必要条件。它具有正实部的一些特征值时，系统是不稳定的。

A.2状态反馈控制

状态反馈控制是一种控制技术，通过乘以反馈增益K和外部参照基准状态值Xref和实测值x和反馈系统之间的偏差。这是类似经典控制理论中的PD控制。图A-1中显示的状态反馈控制框图。

图A-1状态反馈控制框图
在图A-1所示的系统输入和状态方程给出以下

因为我们可以通过校准反馈增益K来改变系统特征值矩阵A – BK，从而使得系统趋于稳定。可控的系统使用状态反馈控制这是必要的。这是充要条件，可控矩阵Mc是满秩。（rank(Mc)=n,n是矩阵X的阶）

控制系统工具箱提供ctrb函数来评估可控矩阵。

例子

下列系统是否可控？A = [0, 1; -2, -3], B = [0; 1] --> 可控性

有两种方法来评估反馈增益K。

1.直接极点配置
这种方法计算反馈增益K，从而使得系统矩阵A - BK的极点（特征值）在期望值的范围。调整参数是极点值，通过试验和误差决定来设置适当的增益值，。控制系统工具箱提供place函数完成直接极点配置的功能。
例子
计算系统的反馈增益=[0，1，-2，-3] , B = [0; 1]，设置极点值为[-5，-6]。

线性二次型调节

   这种方法计算反馈增益K，这样最小化开销函数，J给定如下：

对于状态Q和输入R矩阵需要调整参数权重。通过试验和误差，您需要确定适当的增益值。控制系统工具箱提供LQR线性二次调节函数的功能。
例子
计算系统的反馈增益=[0，1，-2，-3], B = [0; 1]使用Q = [100, 0; 0, 1], R = 1。

A.3  伺服控制

伺服控制是系统控制技术完成输出跟踪预期的行为。 PID和I-PD是伺服控制的经典控制理论。如果你想输出可以跟踪阶跃信号轨迹，在闭环中添加积分器这是必要的。图2显示伺服控制框图（PID型）。

图A-2伺服控制框图（PID型）
考虑到扩展系统，我们可以计算出伺服控制在相同情况下反馈控制的增益。它有新状态值不同于是输出和参考值。伺服控制增益推导如下。

状态方程和输出函数给定如下：

我们使用差值e(t) = C(x(t) – Xref)和差值的累加z(t),扩展系统为x(t) = ，同时X和U的阶为n, m. 扩展系统的状态方程如下：

如果假定扩展系统是稳定的方程式（A.7）可以转化为（A.8）

由（A.7） 和（A.8）相减可以推导出(A.9)

其中Xe= X（T） - X（∞），Ze= Z（T） - Z（∞），Ue= U（T）-U（∞）E 。我们可以用反馈控制，使扩展系统的稳定。输入

如果X（∞）→Xref, Z（∞）→0, u（∞）→0可能，则我们可以推导出输入U(t)

现代控制理论的教科书通常描述伺服控制输入的I-PD型表达（Xref是（A.11）式的其中一项其值等于零）。由于提高了跟踪性能我们使用PID型方程（A.11）。

安步当车

哇。。。这个也太复杂了。